conjunto
es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Con caracteristicas definidas.Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
- S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}
Descripción de un conjunto
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos :
- A es el conjunto cuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.
- B es el conjunto de colores de la bandera de México.
- C = {4, 2, 3, 1}
- D = {blanco, rojo, verde}
- «El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}
- En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D
- C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
- D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}
- {4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,
- {4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}
- {Vocales del español} = {o, u, i, e, a}
- {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
- A = {m : m es un entero, y 1 ≤ m ≤ 5}
- B = {c : c es un color de la bandera de México}
- F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
Pertenencia
La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B,4 y si no lo es, se denota por a ∉ B. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:- 4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero
- 7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B
Subconjuntos
Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B. |
Si A no sólo contiene algunos sino todos los elementos B, A no sólo es un subconjunto de B, sino que ambos conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que A contenga algunos pero no todos los elementos de B: A es un subconjunto de B pero no son iguales. Se dice entonces que A es un subconjunto propio de B y se denota A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).
(También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A).
Ejemplos.
- El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
- {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
Cardinalidad
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. |
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
Operaciones con conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:- Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
- Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
- Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
- Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
- Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
- Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
- Ejemplos
- {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
- {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
- {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
- {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
- {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
No hay comentarios:
Publicar un comentario